已知，，边所在直线的斜率之积为定值，（1）求动点的轨迹方程；（2）当时，过点的直线与曲线相交于两点，求两点的中...

问题详情：

已知，，边所在直线的斜率之积为定值，

（1）求动点的轨迹方程；

（2）当时，过点的直线与曲线相交于两点，求两点的中点的轨迹方程

【回答】

（1）当时，动点的轨迹方程为，

当时，动点的轨迹方程为

当时，动点的轨迹方程为

当时，动点的轨迹方程为

当时，动点的轨迹方程为

（2）或

【解析】试题分析：（1）以边所在直线为轴，以边的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设点的坐标为，由可得，讨论的值可得动点的轨迹方程；（2）由可得，，韦达定理可得，消去参数可得，再考虑动点坐标的取值范围可得结果.

试题解析：以边所在直线为轴，以边的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系

则

设点的坐标为，

则

当时，动点的轨迹方程为，

表示轴所在直线去掉两点剩下的部分

当时，动点的轨迹方程为

表示焦点在轴上的双曲线去掉两点剩下的部分

当时，动点的轨迹方程为

表示焦点在轴上的椭圆去掉两点剩下的部分

当时，动点的轨迹方程为

表示焦点在轴上的椭圆去掉两点剩下的部分

当时，动点的轨迹方程为

表示以为直径的圆去掉两点剩下的部分

（2）当时，动点的轨迹方程为，

当直线的斜率不存在时，显然不可能与有交点，舍去；

当直线的斜率存在时，设的方程为，设，

联立方程组，

消去得：

由题意得：是此方程的解

所以

所以

，所以得

又直线与动点的轨迹方程有两个不同的焦点，

则且且，

或

所以两点的中点的轨迹方程为

或

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题