已知点动点满足直线与的斜率之积为.记的轨迹为曲线.1.求的方程，并说明是什么曲线；2.过坐标原点的直线交于两点...

问题详情：

已知点动点满足直线与的斜率之积为.记的轨迹为曲线.

1.求的方程，并说明是什么曲线；

2.过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点.

（i）*：是直角三角形；

（ii）求面积的最大值.

【回答】

1.由题设得，化简得，所以为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点．

2.（i）设直线的斜率为，则其方程为．

由得．

记，则．

于是直线的斜率为，方程为．

由得

．①

设，则和是方程①的解，故，由此得．

从而直线的斜率为．

所以，即是直角三角形．

（ii）由（i）得，，

所以△PQG的面积．

设，则由得，当且仅当时取等号．

因为在单调递减，所以当，即时，取得最大值，最大值为．

因此，面积的最大值为．

知识点：圆与方程

题型：综合题