設F1,F2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直,直線M...

問題詳情：

設F1,F2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個交點爲N.

(1)若直線MN的斜率爲,求C的離心率;

(2)若直線MN在y軸上的截距爲2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.

【回答】

解:(1)根據c=及題設知M(c,),2b2=3ac.

將b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=,=-2(捨去).

故C的離心率爲.

(2)由題意知,原點O爲F1F2的中點,MF2∥y軸,所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點,故=4,即b2=4a.①

由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.

設N(x1,y1),由題意知y1<0,則

即

代入C的方程,得+=1.②

將①及c=代入②得+=1,

解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題