已知函数．（1）判断函数的奇偶*，并给出*；（2）解不等式：；（3）若函数在上单调递减，比较f（2）+f（...

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 已知函数． （1）判断函数的奇偶*，并给出*； （2）解不等式：； （3）若函数在上单调递减，比较f（2）+f（4）+…+f（2n）与2n（n∈N*）的大小关系，并说明理由．

【回答】

解：（1）函数f（x）为奇函数． *如下：由，解得x＜-1或x＞1， 所以函数的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）                   对任意的x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）， 有， 所以函数f（x）为奇函数．…4分 （2）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则 ==， 因为x2＞x1＞1，所以x1•x2+x2-x1-1＞x1•x2-（x2-x1）-1＞0， 所以，所以f（x1）-f（x2）＞0， 所以f（x1）＞f（x2），所以函数y=f（x）在（1，+∞）单调递减； 由f（x2+x+3）+f（-2x2+4x-7）＞0得：f（x2+x+3）＞-f（-2x2+4x-7）， 即f（x2+x+3）＞f（2x2-4x+7）， 又 ，2x2-4x+7=2（x-1）2+5＞1 ， 所以x2+x+3＜2x2-4x+7， 解得：x＜1或x＞4， 所以原不等式的解集为：（-∞，1）∪（4，+∞）．8分 （3）f（2）+f（4）+…+f（2n）＜2n（n∈N*）．理由如下： 因为， 所以f（2）+f（4）+…+f（2n）-2n=ln（2n+1）-2n=ln（2n+1）-[（2n+1）-1]， 又g（x）=lnx-（x-1）在（1，+∞）上单调递减， 所以当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，所以g（2n+1）＜0， 即ln（2n+1）-[（2n+1）-1]＜0， 故f（2）+f（4）+…+f（2n）＜2n（n∈N*）．

知识点：基本初等函数I

题型：解答题