已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x．（1）求函数f（x）的解析式及其值域；（2）设...

问题详情：

已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x．

（1）求函数f（x）的解析式及其值域；

（2）设x0是方程f（x）=4﹣x的解，且x0∈（n，n+1），n∈Z，求n的值；

（3）若存在x≥1，使得（a+x）f（x）＜1成立，求实数a的取值范围．

【回答】

显然x=0不是方程f（x）=4﹣x的解．

当x＜0时，g（x）=﹣2﹣x+x﹣4＜0，

∴方程f（x）=4﹣x无负数解

当x＞0时，g（x）=2x+x﹣4单调递增，所以函数g（x）至多有一个零点

又g（1）=﹣1＜0，g（2）=2＞0，由零点存在*原理知g（x）在区间（1，2）上至少有一个零

故g（x）的惟一零点，即方程f（x）=4﹣x的惟一解x0∈（1，2）．

所以，由题意，n=1

（3）设h（x）=2﹣x﹣x，则h（x）在11，+∞）上递减．

∴

当x≥1时，f（x）=2x，不等式（a+x）f（x）＜1，即a＜2﹣x﹣x．

∴当时，存在x≥1，使得a＜2﹣x﹣x成立，

即关于x的不等式（a+x）f（x）＜1有不小于1的解

考点：函数奇偶*的*质；函数解析式的求解及常用方法．

知识点：不等式

题型：解答题