已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)A．当k＝1时，f(...

问题详情：

已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)

A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值

B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值

C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值

D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值

【回答】

C

[解析]　本题考查函数零点的判断及函数的极值．

①当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，此时f ′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝ex·x－1，∴A、B项均错．

②当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2

此时f ′(x)＝ex(x－1)2＋(2x－2)(ex－1)

＝ex·x2－2x－ex＋2＝ex(x＋1)(x－1)－2(x－1)

＝(x－1)[ex(x＋1)－2]，

易知g(x)＝ex(x＋1)－2的零点介于0,1之间，不妨设为x0，则有

故f(x)在x＝1处取得极小值．

知识点：导数及其应用

题型：选择题