如图1，正方形OABC的边长为12，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，双曲线y=（x＞0）与边BC、AD分别...

问题详情：

如图1，正方形OABC的边长为12，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，双曲线y=（x＞0）与边BC、AD分别交于点D、E，且BD=AE．

（1）求k的值；

（2）如图2，若点N为双曲线y=上正方形OABC内部一动点，过点N作y轴的垂线，交AC于点F，交AB于点G，过点F作x轴的垂线交双曲线y=于点M．设点N的纵坐标为n．

①若n=8，求*：△BMN是直角三角形；

②若去掉①中的条件“n=8”，△BMN是否仍为直角三角形？请*你的结论．

【回答】

解：（1）∵正方形OABC的边长为12，

∴A（12，0），C（0，12），B（12，12），

∴BC=12，

设点D（m，12），

∴CD=m，

∴BD=BC﹣CD=12﹣m，

∵AE=BD=12﹣m，

∴E（12，12﹣m），

∵D，E在反比例函数y=，

∴k=12m=12（12﹣m），

∴m=6，

∴k=72；

（2）当n=8时，

∴G（12，8），

∵FG∥x轴，

∴点F，N的纵坐标为8，

∵点N在反比例函数y=上，

∴N（9，8），

∵A（12，0），C（0，12），

∴直线AC的解析式为y=﹣x+12，

∵点F在直线AC上，

∴F（4，8），

∵FM⊥x轴交反比例函数于M，

∴M（4，18），

∵B（12，12），

∴BM2=（12﹣4）2+（12﹣18）2=100，BN2=（12﹣9）2+（12﹣8）2=25，MN2=（9﹣4）2+（8﹣18）2=125，

∴BM2+BN2=MN2，

∴△BMN是直角三角形；

（3）同（2）的方法得，N（，n），M（12﹣n，），

∵B（12，12），

∴BM2=（12﹣n﹣12）2+（﹣12）2=n2+（）2﹣24×+144

BN2=（﹣12）2+（n﹣12）2=（﹣12）2+n2﹣24n+144

MN2=（12﹣n﹣）2+（﹣n）2

=（﹣12）2+2n（﹣12）+n2+（）2﹣2n×+n2

=（﹣12）2+144﹣24n+n2+（）2﹣2n×+n2．

∴BM2+BN2﹣MN2

=n2+（）2﹣24×+144+（﹣12）2+n2﹣24n+144﹣[（﹣12）2+144﹣24n+n2+（）2﹣2n×+n2]

=n2+（）2﹣24×+144+（﹣12）2+n2﹣24n+144﹣（﹣12）2﹣144+24n﹣n2﹣（）2+2n×﹣n2

=﹣24×+144+2n×=﹣2（12﹣n）×+144=0，

∴BM2+BN2=MN2，

∴△BMN是直角三角形．

知识点：反比例函数

题型：解答题