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已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P...

栏目: 练习题 / 发布于: / 人气:6.47K

问题详情：

已知椭圆C：

已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P...
＋
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P... 第2张
＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P... 第3张
.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且

已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P... 第4张
＝
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P... 第5张
＋
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P... 第6张
，求点Q的轨迹方程．

【回答】

解　(1)由椭圆定义知

2a＝|PF1|＋|PF2|＝

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＝2
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.

所以a＝

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.

又由已知得，c＝1，所以椭圆C的离心率e＝

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＝
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P... 第11张
＝
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.

(2)由(1)知，椭圆C的方程为

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＋y2＝1.

设点Q的坐标为(x，y)．

(i)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为

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.

(ii)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2.

因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，则

|AM|2＝(1＋k2)x

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，|AN|2＝(1＋k2)x
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.

又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.

由

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得

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即
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＝
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＋
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＝
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.①

将y＝kx＋2代入

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＋y2＝1中，得

(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②

由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞

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.

由②可知，x1＋x2＝

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，x1x2＝
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，

代入①中并化简，得

x2＝

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.③

因为点Q在直线y＝kx＋2上，所以k＝

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，代入③中并化简，得10(y－2)2－3x2＝18.

由③及k2＞

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，可知0＜x2＜
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，

即x∈

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又

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满足10(y－2)2－3x2＝18，

故x∈

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.

由题意知点Q(x，y)在椭圆C内，所以－1≤y≤1，

又由10(y－2)2＝18＋3x2有

(y－2)2∈

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，且－1≤y≤1，则y∈
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.

所以点Q的轨迹方程为10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈

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，y∈
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.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题

Tags：F210 1ab0 已知 f1 椭圆
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