问题详情:
设f′(x)和g′(x)分别是函数f(x)和g(x)的导函数,若f′(x)·g′(x)≤0在区间I上恒成立,则称函数f(x)和g(x)在区间I上单调*相反.若函数f(x)=x3-2ax与函数g(x)=x2+2bx在开区间(a,b)(a>0)上单调*相反,则b-a的最大值等于____________.
【回答】
解析:因为g(x)=x2+2bx在区间(a,b)上为单调增函数,所以f(x)=x3-2ax在区间(a,b)上单调减,故x∈(a,b),f′(x)=x2-2a≤0,即a≥,而b>a,所以b∈(0,2),b-a≤b-=-(b-1)2+,当b=1时,b-a的最大值为.本题主要考查二次函数的单调*、最值问题和导数在单调*中的运用以及恒成立问题.本题属于难题.
知识点:导数及其应用
题型:填空题