問題詳情:
已知二次函式對任意的都有,且.
(1)求函式的解析式;
(2)設函式.
①若存在實數,,使得在區間上為單調函式,且取值範圍也為,求的取值範圍;
②若函式的零點都是函式的零點,求的所有零點.
【回答】
(1);(2)① ;②見詳解.
【解析】
(1)先設二次函式的解析式為,根據題意列出係數對應的方程組,求解,即可得出結果;
(2)①由(1)可得:,對稱軸,由函式在區間上單調,得到或,分別研究和兩種情況,結合題中條件,以及二次函式*質,即可得出結果;
②先設為的零點,由題意得到,即,求出或,分別研究和兩種情況,即可得出結果.
【詳解】(1)設二次函式的解析式為,
則,
由得恆成立,又,
所以,所以,所以;
(2)①由(1)可得:,對稱軸,在區間上單調,
所以或,
當時,在區間上單調增,所以,即為的兩個根,所以只要有小於等於2兩個不相等的實根即可,
所以要滿足,得
當時,在區間上單調減,所以,即
兩式相減得,因為,所以,
所以,,得;
綜上,的取值範圍為
②設為的零點,則,即,得或,
當時,
所以所有零點為;
當時,
由得,
所以所有零點.
【點睛】本題主要考查求二次函式解析式,求函式零點,以及由函式單調*與值域求引數的問題,熟記二次函式的*質,以及根的存在*及根的個數的判斷方法即可,屬於常考題型.
知識點:函式的應用
題型:解答題