已知定義域爲的函數是奇函數．（1）求，的值；（2）用定義*在上爲減函數；（3）若對於任意，不等式恆成立，求的...

問題詳情：

已知定義域爲的函數是奇函數．

（1）求，的值；

（2）用定義*在上爲減函數；

（3）若對於任意，不等式恆成立，求的範圍．

【回答】

（1），；（2）*見解析；（3）.

【解析】

（1）根據奇函數定義，利用且，列出關於、的方程組並解之得；

（2）根據函數單調*的定義，任取實數、，通過作差因式分解可*出：當時，，即得函數在上爲減函數；

（3）根據函數的單調*和奇偶*，將不等式轉化爲：對任意的都成立，結合二次函數的圖象與*質，可得的取值範圍．

【詳解】

解：（1）爲上的奇函數，，可得

又（1）

，解之得

經檢驗當且時，，滿足是奇函數．

（2）由（1）得，

任取實數、，且

則

，可得，且

，即，函數在上爲減函數；

（3）根據（1）（2）知，函數是奇函數且在上爲減函數．

不等式恆成立，即

也就是：對任意的都成立．

變量分離，得對任意的都成立，

，當時有最小值爲

，即的範圍是．

【點睛】

本題以含有指數式的分式函數爲例，研究了函數的單調*和奇偶*，並且用之解關於的不等式，考查了基本初等函數的簡單*質及其應用，屬於中檔題．

知識點：基本初等函數I

題型：解答題