已知定義域爲的函數是奇函數.（1）求的值；（2）判斷並用定義*的單調*；（3）若對任意的，不等式恆成立，求實...

問題詳情：

已知定義域爲的函數是奇函數.

（1）求的值；

（2）判斷並用定義*的單調*；

（3）若對任意的，不等式恆成立，求實數的取值範圍.

【回答】

（1）   （2）在上是增函數，*見解析   （3）

【解析】

（1）利用f（1）+f（﹣1）＝0，即可解得a的值，並利用定義檢驗即可；

（2）判斷：單調遞增．設x1∈R，x2∈R且x1＜x2，只要*f（x1）﹣f（x2）＜0，即可；

（3）利用函數f（x）的奇偶*和單調*可得：對任意的，不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＞0恆成立⇔mt2+1＞mt﹣1對任意的恆成立．對m分類討論和利用二次函數的*質即可得出．

【詳解】（1）由f（1）+f（﹣1）＝0，得．

檢驗：a＝2時，，

∴f（x）+f（﹣x）＝0對x∈R恆成立，即f（x）是奇函數．

（2）判斷：單調遞增．

*：設x1∈R，x2∈R且x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．

∴f（x）在R上是增函數．

（3）∵f（x）是奇函數，∴不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＞0⇔f（mt2+1）＞f（mt﹣1），

∵f（x）在R上是增函數，∴對任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＞0恆成立，

即mt2+1＞mt﹣1對任意的t∈R恆成立，

即mt2﹣mt+2＞0對任意的t∈R恆成立．

m＝0時，不等式即2＞0恆成立，合題意；

m≠0時，有即0＜m＜8．

綜上：實數m的取值範圍爲0≤m＜8

【點睛】本題綜合考查了函數的奇偶*和單調*、“三個二次的關係”、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬於難題．

知識點：*與函數的概念

題型：解答題