已知定義域爲R的函數是奇函數（1）求a值；（2）判斷並*該函數在定義域R上的單調*；（3）若對任意的t∈R，...

問題詳情：

已知定義域爲R的函數是奇函數 （1）求a值； （2）判斷並*該函數在定義域R上的單調*； （3）若對任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恆成立，求實數k的取值範圍； （4）設關於x的函數F（x）=f（4x-b）+f（-2x+1）有零點，求實數b的取值範圍．

【回答】

 解：（1）由題設，需，∴a=1， ∴， 經驗*，f（x）爲奇函數， ∴a=1． （2）減函數 *：任取x1，x2∈R，x1＜x2，△x=x2-x1＞0， f（x2）-f（x1）=- =， ∵x1＜x2 ∴0＜＜； ∴-＜0，（1+）（1+）＞0 ∴f（x2）-f（x1）＜0 ∴該函數在定義域R 上是減函數． （3）由f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0得f（t2-2t）＜-f（2t2-k）， ∵f（x）是奇函數，∴f（t2-2t）＜f（k-2t2）， 由（2）知，f（x）是減函數 ∴原問題轉化爲t2-2t＞k-2t2，即3t2-2t-k＞0 對任意t∈R 恆成立， ∴=4+12k＜0，得即爲所求． （4）原函數零點的問題等價於方程f（4x-b）+f（-2x+1）=0有解， 由（3）知，4x-b=2x+1，即方程b=4x-2x+1有解 ∴4x-2x+1=（2x）2-2×2x=（2x-1）2-1≥-1，∴當b∈[-1，+∞）時函數存在零點．

知識點：基本初等函數I

題型：解答題