利用定積分的幾何意義求下列定積分．(1)dx；(2)(2x＋1)dx；(3)(x3＋3x)dx.

問題詳情：

利用定積分的幾何意義求下列定積分．

(1)dx；(2)(2x＋1)dx；

(3)(x3＋3x)dx.

【回答】

[解]　(1)曲線y＝表示的幾何圖形為以原點為圓心以3為半徑的上半圓如圖①所示．

其面積為S＝·π·32＝π.

由定積分的幾何意義知dx＝π.

(2)曲線f(x)＝2x＋1為一條直線.(2x＋1)dx表示直線f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3圍成的直角梯形OABC的面積，如圖②.

其面積為S＝(1＋7)×3＝12.

根據定積分的幾何意義知

(2x＋1)dx＝12.

(3)∵y＝x3＋3x在區間[－1,1]上為奇函數，圖象關於原點對稱，

∴曲邊梯形在x軸上方部分面積與x軸下方部分面積相等．由定積分的幾何意義知(x3＋3x)dx＝0.

知識點：導數及其應用

題型：解答題