設函數f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，(1)若對任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求...

問題詳情：

設函數f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，

(1)若對任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值範圍．

(2)若對任意的x∈(0,3)，都有f(x)<c2成立，求c的取值範圍．

【回答】

解　(1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．

∴當x∈(0,1)時，f′(x)>0；當x∈(1,2)時，f′(x)<0；

當x∈(2,3)時，f′(x)>0.

∴當x＝1時，f(x)取極大值f(1)＝5＋8c.

又f(3)＝9＋8c>f(1)，

∴x∈[0,3]時，f(x)的最大值為f(3)＝9＋8c.

∵對任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恆成立，

∴9＋8c<c2，即c<－1或c>9.

∴c的取值範圍為(－∞，－1)∪(9，＋∞)．

(2)由(1)知f(x)<f(3)＝9＋8c，

∴9＋8c≤c2即c≤－1或c≥9，

∴c的取值範圍為(－∞，－1]∪[9，＋∞)．

知識點：導數及其應用

題型：解答題