函數f(x)的定義域為D＝{x|x≠0}，且滿足對於任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x...

問題詳情：

函數f(x)的定義域為D＝{x|x≠0}，且滿足對於任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判斷f(x)的奇偶*並*你的結論；

(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數，求x的取值範圍．

【回答】

 (1)∵對於任意x1，x2∈D，

有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，

∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.

(2)f(x)為偶函數．

*：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，

∴f(－1)＝f(1)＝0.

令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，

∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數．

(3)依題設有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，

由(2)知，f(x)是偶函數，

∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)．

又f(x)在(0，＋∞)上是增函數．

∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.

∴x的取值範圍是{x|－15<x<17且x≠1}．

知識點：*與函數的概念

題型：解答題