已知△ABC是斜三角形，內角A、B、C所對的邊的長分別為a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（...

問題詳情：

已知△ABC是斜三角形，內角A、B、C所對的邊的長分別為a、b、c．若csinA=acosC．

（Ⅰ）求角C；

（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面積．

【回答】

【考點】餘弦定理；正弦定理．

【分析】（I）由，利用正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，於是，即可得出；

（II）由sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），可得sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，聯立解出，再利用三角形面積計算公式即可得出．

【解答】解：（I）∵，由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，

sinA≠0，

∴，

得，

∵C∈（0，π），

∴．

（II）∵sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），

∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，

∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，

∵△ABC為斜三角形，

∴cosA≠0，

∴sinB=5sinA，

由正弦定理可知b=5a  （1）

由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，

∴，（2）

由（1）（2）解得a=5，b=1，

∴．

知識點：解三角形

題型：解答題