已知：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=4，將AC邊所在直線向右平移，所得直線MN與BC邊的延...

問題詳情：

已知：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=4，將AC邊所在直線向右平移，所得直線MN與BC邊的延長線相交於點M，點D在AC邊上，CD=CM，過點D的直線平分∠BDC，與BC交於點E，與直線MN交於點N，聯接AM．

（1）若CM=，則AM=　   　；

（2）如圖1，若點E是BM的中點，求*：MN=AM；

（3）如圖2，若點N落在BA的延長線上，求AM的長．

【回答】

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC=BC，AB=4，[來源:學科網]

∴AC=BC=4，

∴AM==，

故*為：；

（2）*：如圖1，過點B作BF⊥BC與NE的延長線交於點F，

∵∠ACB=90°，MN∥AC，

∴∠FBE=∠NME=90°，

在△BEF和△MEN中，[來源:]

∴△BEF≌△MEN，

∴BF=MN，

∵CD=CM，BC=AC，

∴Rt△BDC≌Rt△AMC，

∴BD=AM，

∵NF平分∠BDC，

∴∠BDF=∠FDC，

∵BF∥AC，

∴∠F=∠FDC，

∴∠BDF=∠F，

∴BD=BF，

∴MN=AM；

（3）如圖2，過點D作DH⊥MN於點H，

∵MN∥AC，∠ACB=90°，CD=CM，

∴四邊形CDHM是正方形，又點N在BA的延長線上，

∴△BNM∽△BAC，

∵AC=BC，

∴NM=BN，又MH=CM=DH，

∴NH=BC，

∴Rt△BDC≌Rt△AMC≌Rt△NDH，

∴BD=AM=ND，∠CBD=∠HND，

又∠BDE=∠EDC，∠EDC=∠HND，

∴∠BDE=∠EDC=∠CBD，

∵∠BDE+∠EDC+∠CBD=90°，

∴∠BDE=∠EDC=∠CBD=30°，

在Rt△ABC中，AC=BC，AB=4，

∴AC=BC=4，

在Rt△BDC中，BD==

∴AM=．

知識點：相似三角形

題型：綜合題