（1）問題發現：如圖1，△ABC與△CDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，則線段AE、BD的數...

問題詳情：

（1）問題發現：如圖1，△ABC與△CDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，則線段AE、BD的數量關係為_______，AE、BD所在直線的位置關係為________；

（2）深入探究：在（1）的條件下，若點A，E，D在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，請判斷∠ADB的度數及線段CM，AD，BD之間的數量關係，並説明理由；

（3）解決問題：如圖3，已知△ABC中，AB=7，BC=3，∠ABC=45°，以AC為直角邊作等腰直角△ACD，∠CAD=90°，AC=AD，連接BD，則的長為              ．

【回答】

（1）相等，垂直；（2）AD=2CM+BD；（3）或7﹣3

【分析】

（1）結論：AE＝BD，AE⊥BD．如圖1中，延長AE交BD於點H，AH交BC於點O．只要*△ACE≌△BCD（SAS），即可解決問題；

（2）結論：AD＝2CM+BD，只要*△ACE≌△BCD（SAS），即可解決問題；

（3）分兩種情形分別畫出圖形，構造全等三角形解決問題即可；

【詳解】

（1）結論：AE＝BD，AE⊥BD．

理由：如圖1中，延長AE交BD於點H，AH交BC於點O．

∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，

∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴AC＝BC，CD＝CE，

∴∠ACE＝∠BCD，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，

∵∠CAE+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，

∴∠BOH+∠CBD＝90°

∴∠AHB＝90°，

∴AE⊥BD．

故*是：AE＝BD，AE⊥BD．

（2）結論：AD＝2CM+BD，

理由：如圖2中，

∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，

∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴AC＝BC，CD＝CE，

∴∠ACE＝∠BCD，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD，∠BDC＝∠AEC＝135°．

∴∠ADB＝∠BDC﹣∠CDE＝135°﹣45°＝90°；

在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，

∴CM＝DM＝ME，

∴DE＝2CM．

∴AD＝DE+AE＝2CM+BD．

（3）情形1：如圖3﹣1中，在△ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，連接EA、EB、EC．

∵∠ACD＝∠ADC＝45°，

∴AC＝AD，∠CAD＝90°，

∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，

∴△EAC≌△BAD（SAS），

∴BD＝CE．

∵AE＝AB＝7，

∴BE＝，∠ABE＝∠AEB＝45°，

又∵∠ABC＝45°，

∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，

∴EC＝，

∴BD＝CE＝．

情形2：如圖3﹣2中，作AE⊥AB交BC的延長線於E，則△ABE是等腰直角三角形，

同法可*：△EAC≌△BAD（SAS），

∴BD＝CE，

∵AB＝AE＝7，

∴BE＝7，

∴EC＝BE＝CB＝7﹣3，

綜上所述，BD的長為或7﹣3．

【點睛】

考查了等腰直角三角形的*質，全等三角形的判定和*質，勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題.

知識點：勾股定理

題型：解答題