*作與*：如圖1，把一個含45°角的直角三角板ECF和一個正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方...

問題詳情：

*作與*：如圖1，把一個含45°角的直角三角板ECF和一個正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點C重合，點E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AF．取AF中點M，EF的中點N，連接MD、MN．

（1）連接AE，求*：△AEF是等腰三角形；

猜想與發現：

（2）在（1）的條件下，請判斷MD、MN的數量關係和位置關係，得出結論．

結論1：DM、MN的數量關係是　   　；

結論2：DM、MN的位置關係是　   　；

拓展與探究：

（3）如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點C順時針旋轉180°，其他條件不變，則（2）中的兩個結論還成立嗎？若成立，請加以*；若不成立，請説明理由．

【回答】

【解答】（1）*：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，

∵△CEF是等腰直角三角形，∠C＝90°，

∴CE＝CF，

∴BC﹣CE＝CD﹣CF，

即BE＝DF，

∴△ABE≌△ADF，

∴AE＝AF，

∴△AEF是等腰三角形；

（2）解：相等，垂直；

*：∵在Rt△ADF中DM是斜邊AF的中線，

∴AF＝2DM，

∵MN是△AEF的中位線，

∴AE＝2MN，

∵AE＝AF，

∴DM＝MN；

∵∠DMF＝∠DAF+∠ADM，AM＝MD，

∵∠FMN＝∠FAE，∠DAF＝∠BAE，

∴∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，

∴∠DMN＝∠BAD＝90°，

∴DM⊥MN；

（3）（2）中的兩個結論還成立，

*：連接AE，交MD於點G，

∵點M為AF的中點，點N為EF的中點，

∴MN∥AE，MN＝AE，

由（1）同理可*，

AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF，CE＝CF，

又∵BC+CE＝CD+CF，即BE＝DF，

∴△ABE≌△ADF，

∴AE＝AF，

在Rt△ADF中，

∵點M為AF的中點，

∴DM＝AF，

∴DM＝MN，

∵△ABE≌△ADF，

∴∠1＝∠2，

∵AB∥DF，

∴∠1＝∠3，

同理可*：∠2＝∠4，

∴∠3＝∠4，

∵DM＝AM，

∴∠MAD＝∠5，

∴∠DGE＝∠5+∠4＝∠MAD+∠3＝90°，

∵MN∥AE，

∴∠DMN＝∠DGE＝90°，

∴DM⊥MN．

【分析】（1）根據正方形的*質以及等腰直角三角形的知識*出CE＝CF，繼而*出△ABE≌△ADF，得到AE＝AF，*出△AEF是等腰三角形；

（2）DM、MN的數量關係是相等，位置關係式垂直；

（3）連接AE，交MD於點G，標記出各個角，首先*出MN∥AE，MN＝AE，再有（1）的結論以及角角之間的數量關係得到∠DMN＝∠DGE＝90°．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題