問題詳情:
定義:有兩個相鄰內角互餘的四邊形稱為鄰餘四邊形,這兩個角的夾邊稱為鄰餘線.
(1)如圖1,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分線,E,F分別是BD,AD上的點.
求*:四邊形ABEF是鄰餘四邊形。
(2)如圖2,在5×4的方格紙中,A,B在格點上,請畫出一個符合條件的鄰餘四邊形ABEF,使AB是鄰餘線,E,F在格點上,
(3)如圖3,在(1)的條件下,取EF中點M,連結DM並延長交AB於點Q,延長EF交AC於點N.若N為AC的中點,DE=2BE,QB=3,求鄰餘線AB的長。
【回答】
(1)解:∵AB=AC,AD是△ABC的角平分線,
∴AD⊥BC.
∴∠ADB=900.
∴∠DAB+∠DBA=90°.
∴∠FAB與∠EBA互餘.
∴四邊形ABEF是鄰餘四邊形 (2)解:如圖所示(*不唯一)
(3)解:∵AB=AC,AD是△ABC的角平分線,
∴BD=CD.
∵DE=2BE,
∴BD=CD=3BE.
∴CE=CD+DE=5BE.
∵∠EDF=90°,M為EF中點,
∴DM=ME.
∴∠MDE=∠MED.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∴△DBQ∽△AECN.
∵
∵QB=3,∴NC=5.
∵AN=CN,
∴AC=2CN=10.
∴AB=AC=10.
【考點】等腰三角形的*質,直角三角形斜邊上的中線,相似三角形的判定與*質,直角三角形的*質
【解析】【解析】(1) 解:∵AB=AC,AD是△ABC的角平分線,
∴AD⊥BC.
∴∠ADB=90°
∴∠DAB+∠DBA=90°.
∴∠FAB與∠EBA互餘.
∴四邊形ABEF是鄰餘四邊形 【分析】(1)根據等腰三角形的三線合一得出AD⊥BC,故∠ADB=90°,根據直角三角形的兩鋭角互餘得出∠FAB+∠EBA=90°,根據鄰餘四邊形的定義即可得出結論:四邊形ABEF是鄰餘四邊形; (2)開放*的命題,*不唯一:在過點A的水平線與過點B的豎直線上各取一個格點F,E再順次連接A,F,E,B即可得出所求的鄰餘四邊形; (3)根據等腰三角形的三線合一得出BD=CD,進而得出CE=5BE,根據直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半得出DM=ME,根據等邊對等角得出∠MDE=∠MED,∠B=∠C,根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似得出△DBQ∽△ECN,根據相似三角形對應邊成比例得出QB∶NC=BD∶CE=3∶5,根據比例式得出NC的長,進而即可得出AC的長,最後根據AB=AC即可得出*。
知識點:各地中考
題型:解答題