問題詳情:
瑞士著名數學家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位於同一直線上.這條直線被後人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角座標系中作△ABC,AB=AC=4,點B(-1,3),點C(4,-2),且其“歐拉線”與圓M:相切,則下列結論正確的是( )
A.圓M上點到直線的最小距離為2
B.圓M上點到直線的最大距離為3
C.若點(x,y)在圓M上,則的最小值是
D.圓與圓M有公共點,則a的取值範圍是
【回答】
ACD
【分析】
由題意結合“歐拉線”概念可得△ABC的“歐拉線”即為線段BC的垂直平分線,結合直線方程的知識可得線段BC的垂直平分線的方程,由直線與圓相切可得圓M的方程;由圓心到直線的距離可判斷A、B;令,由直線與圓相切可得z的最值,即可判斷C;由圓與圓的位置關係即可判斷D;即可得解.
【詳解】
由AB=AC可得△ABC外心、重心、垂心均在線段BC的垂直平分線上,即△ABC的“歐拉線”即為線段BC的垂直平分線,
由點B(-1,3),點C(4,-2)可得線段BC的中點為,且直線的BC的斜率,
所以線段BC的垂直平分線的斜率,
所以線段BC的垂直平分線的方程為即,
又圓M:的圓心為,半徑為,
所以點到直線的距離為,
所以圓M:,
對於A、B,圓M的圓心到直線的距離,所以圓上的點到直線的最小距離為,最大距離為,故A正確,B錯誤;
對於C,令即,當直線與圓M相切時,圓心到直線的距離為,解得或,則的最小值是,故C正確;
對於D,圓圓心為,半徑為,若該圓與圓M有公共點,則即,解得,故D正確.
故選:ACD.
【點睛】
本題考查了直線方程的求解及直線與圓、圓與圓位置關係的應用,考查了運算求解能力與轉化化歸思想,屬於中檔題.
知識點:圓與方程
題型:選擇題