愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關係查閲資料時，發現了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三...

問題詳情：

愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關係查閲資料時，發現了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是△ABC的中線，AN⊥BN於點P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設BC=a，AC=b，AB=c．

【特例探究】

（1）如圖1，當tan∠PAB=1，c=4時，a=　　　　　　，b=　　　　　　；

如圖2，當∠PAB=30°，c=2時，a=　　　　　　，b=　　　　　　；

【歸納*】

（2）請你觀察（1）中的計算結果，猜想a2、b2、c2三者之間的關係，用等式表示出來，並利用圖3*你的結論．

【拓展*】

（3）如圖4，▱ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE於E，AF與BE相交點G，AD=3，AB=3，求AF的長．

【回答】

分析： （1）①首先*△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA．PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解決問題．

②連接EF，在RT△PAB，RT△PEF中，利用30°*質求出PA．PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解決問題．

（2）結論a2+b2=5c2．設MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分別求出a2、b2、c2即可解決問題．

（3）取AB中點H，連接FH並且延長交DA的延長線於P點，首先*△ABF是中垂三角形，利用（2）中結論列出方程即可解決問題．

 （1）解：如圖1中，∵CE=AE，CF=BF，

∴EF∥AB，EF=AB=2，

∵tan∠PAB=1，

∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°，

∴PF=PE=2，PB=PA=4，

∴AE=BF==2．

∴b=AC=2AE=4，a=BC=4．

故*為4，4．

如圖2中，連接EF，

，∵CE=AE，CF=BF，

∴EF∥AB，EF=AB=1，

∵∠PAB=30°，

∴PB=1，PA=，

在RT△EFP中，∵∠EFP=∠PAB=30°，

∴PE=，PF=，

∴AE==，BF==，

∴a=BC=2BF=，b=AC=2AE=，

故*分別為，．

（2）結論a2+b2=5c2．

*：如圖3中，連接EF．

∵AF、BE是中線，

∴EF∥AB，EF=AB，

∴△FPE∽△APB，

∴==，

設FP=x，EP=y，則AP=2x，BP=2y，

∴a2=BC2=4BF2=4（FP2+BP2）=4x2+16y2，

b2=AC2=4AE2=4（PE2+AP2）=4y2+16x2，

c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，

∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2．

（3）解：如圖4中，在△AGE和△FGB中，

，

∴△AGE≌△FGB，

∴BG=FG，取AB中點H，連接FH並且延長交DA的延長線於P點，

同理可*△APH≌△BFH，

∴AP=BF，PE=CF=2BF，

即PE∥CF，PE=CF，

∴四邊形CEPF是平行四邊形，

∴FP∥CE，

∵BE⊥CE，

∴FP⊥BE，即FH⊥BG，

∴△ABF是中垂三角形，

由（2）可知AB2+AF2=5BF2，

∵AB=3，BF=AD=，

∴9+AF2=5×（）2，

∴AF=4．

知識點：解直角三角形與其應用

題型：綜合題