設x，y∈R，求*|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件是xy≥0.

問題詳情：

設x，y∈R，求*|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件是xy≥0.

【回答】

*　①充分*：如果xy≥0，則有xy＝0和xy>0兩種情況，當xy＝0時，不妨設x＝0，

則|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．

當xy>0時，即x>0，y>0，或x<0，y<0，

又當x>0，y>0時，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，

∴等式成立．

當x<0，y<0時，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，∴等式成立．

總之，當xy≥0時，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．

②必要*：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，

則|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，

即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，

∴|xy|＝xy，∴xy≥0.

綜上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件．

知識點：常用邏輯用語

題型：解答題