問題詳情:
已知函數f(x)對任意x,y∈R,總有f(x)+f(y)=f(x+y),且當x>0時,f(x)<0,f(1)=-.
(1)求*:f(x)是R上的單調減函數.
(2)求f(x)在[-3,3]上的最小值.
【回答】
(1)*:設x1,x2是任意的兩個實數,且x1<x2,
則x2-x1>0,因為x>0時,f(x)<0,
所以f(x2-x1)<0,
又因為x2=(x2-x1)+x1,
所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]
=f(x2-x1)+f(x1),
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,
所以f(x2)<f(x1).
所以f(x)是R上的單調減函數.
(2)由(1)可知f(x)在R上是減函數,
所以f(x)在[-3,3]上也是減函數,
所以f(x)在[-3,3]上的最小值為f(3).
而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3×=-2.
所以函數f(x)在[-3,3]上的最小值是-2.
【點睛】
抽象函數常見的賦值形式:令,,,等。
知識點:*與函數的概念
題型:解答題