如圖，已知△ABC，按照下列步驟作圖：①以B為圓心，BA長為半徑畫弧；②以C為圓心，CA長為半徑畫弧，兩弧交於...

問題詳情：

如圖，已知△ABC，按照下列步驟作圖：

①以B為圓心，BA長為半徑畫弧；

②以C為圓心，CA長為半徑畫弧，兩弧交於點D；

③連接AD，與BC交於點E，連接BD、CD．

（1）求*：△ABC≌△DBC；

（2）若∠ABC=30°，∠ACB=45°，AB=4，求EC的長．

【回答】

【考點】全等三角形的判定與*質；線段垂直平分線的*質；含30度角的直角三角形．

【分析】（1）直接運用SSS判定兩三角形全等；

（2）根據線段垂直平分線的逆定理得：BC是AD的垂直平分線，得△ABE是直角三角形，△AEC是等腰直角三角形，根據直角三角形中30°角所對的直角邊等於斜邊的一半求出AE的長，從而得出CE的長．

【解答】*：（1）由題意得：AB=BD，AC=CD，

∵BC=BC，

∴△ABC≌△DBC；

（2）∵AB=BD，AC=CD，

∴BC是AD的垂直平分線，

∴AD⊥BC，

在Rt△ABE中，∵∠ABE=30°，AB=4，

∴AE=AB=2，

∵∠ACB=45°，

∴△AEC是等腰直角三角形，

∴AE=EC，

∵AE=2，

∴EC=2．

【點評】本題考查了全等三角形的*質和判定及線段垂直平分線的*質，要熟知全等三角形的判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA；在判定兩全等三角形全等時，要注意三角形間的公共邊和公共角；在直角三角形中，要熟練掌握幾下*質：①勾股定理，②等腰直角三角形，③30°角所對的直角邊等於斜邊的一半．

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題