如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，點O在AB上，以O為圓心，OA長為半徑的圓與AC、AB，分別交於點D、E，...

問題詳情：

如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，點O在AB上，以O為圓心，OA長為半徑的圓與AC、AB，分別交於點D、E，且∠CBD=∠A；2·1·c·n·j·y

（1）判斷直線BD與⊙O的位置關係，並*你的結論；

（2）若AD：AO=8：5，BC=2，求BD的長．

【回答】

【考點】直線與圓的位置關係；直角三角形的*質；相似三角形的判定與*質．

【分析】（1）結論：BD是圓的切線，已知此線過圓O上點D，連接圓心O和點D（即為半徑），再*垂直即可；

（2）通過作輔助線，根據已知條件求出∠CBD的度數，在Rt△BCD中求解即可．

【解答】解：（1）直線BD與⊙O相切．

*：如圖，連接OD．

∵OA=OD

∴∠A=∠ADO

∵∠C=90°，

∴∠CBD+∠CDB=90°

又∵∠CBD=∠A

∴∠ADO+∠CDB=90°

∴∠ODB=90°

∴直線BD與⊙O相切．

（2）解法一：如圖，連接DE．

∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE=90°

∵AD：AO=8：5

∴cosA=AD：AE=4：5

∵∠C=90°，∠CBD=∠A

 cos∠CBD=BC：BD=4：5

∵BC=2，BD=；

解法二：如圖，過點O作OH⊥AD於點H．

∴AH=DH=AD

∵AD：AO=8：5

∴cosA=AH：AO=4：5

∵∠C=90°，∠CBD=∠A

∴cos∠CBD=BC：BD=4：5，

∵BC=2，

∴BD=．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題