【問題提出】平面上，若點P與A、B、C三點中的任意兩點均構成等腰三角形，則稱點P是A、B、C三點的巧妙點．若A...

問題詳情：

【問題提出】

平面上，若點P與A、B、C三點中的任意兩點均構成等腰三角形，則稱點P是A、B、C三點的巧妙點．若A、B、C三點構成三角形，也稱點P是△ABC的巧妙點．

【初步思考】

（1）如圖①，在等邊△ABC的內部和外部各作一個△ABC的巧妙點．（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）如圖②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，點D、E是△ABC的兩個巧妙點，

     其中AD＝AB，AE＝AC，BD＝BC＝CE，連接DE，分別交AB、AC於點M、N．

     求*： DA2＝DB·DE．

【深入研究】

（3）在△ABC中，AB＝AC，若存在一點P，使PB＝BA，PA＝PC．點P可能為△ABC

     的巧妙點嗎？若可能，請畫出示意圖，並直接寫出∠BAC的度數；若不可能，請説明理由．

【回答】

解: （1） 如下圖………………2分

 （2）

      ∴ …………………………3分

      ∴

      ∴

      ∴    ………………………………5分

      ∴    ,  

   又 ∵

      ∴ DA2＝DB·DE………………………………………6分

（3）第一種如圖①或②（只需畫出一個即可），…………7分

     第二種如圖③，……………………………………… 8分

     第三種如圖④，………………………………………9分

     第四種如圖⑤，………………………………………10分

知識點：各地中考

題型：解答題