問題詳情:
如圖,正方形ABCD中,AB=1,點P是BC邊上的任意一點(異於端點B、C),連接AP,過B、D兩點作BE⊥AP於點E,DF⊥AP於點F.
(1)求*:EF=DF﹣BE;
(2)若△ADF的周長為,求EF的長.
【回答】
(1)見解析;(2).
【解析】
分析:(1)由正方形的*質得出AD=AB,*出∠DAF=∠ABE,由AAS*△ADF≌△BAE,得出AF=BE,DF=AE,即可得出結論; (2)設DF=a,AF=b,EF=DF-AF=a-b>0,由已知條件得出DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得出a2+b2=1,再由完全平方公式得出a-b即可.
詳解:(1)*:∵BE⊥AP,DF⊥AP,
∴∠DFA=∠AEB=90°,∠ABE+∠BAE=90°,
∵四邊形ABCD為正方形,∴AD=AB,∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE,
∴∠DAF=∠ABE,
在△ADF和△BAE中,∠DAF=∠ABE,∠DFA=∠AEB,AD=AB,
∴△ADF≌△BAE(AAS),
∴AF=BE,DF=AE,
∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE;
(2)解:設DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b>0,∵△ADF的周長為,AD=1,∴DF+AF=,
即a+b=,由勾股定理得:DF2+AF2=AD2,即a2+b2=1,
∴(a﹣b)2=2(a2+b2)﹣(a+b)2=2﹣,∴a﹣b=,即EF=.
點睛:正方形的*質, 全等三角形的判定與*質.
知識點:全等三角形
題型:解答題