問題詳情：
數學問題：計算
（其中m，n都是正整數，且m≥2，n≥1）．
探究問題：為解決上面的數學問題，我們運用數形結合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為1的正方形，把數量關係和幾何圖形巧妙地結合起來，並採取一般問題特殊化的策略來進行探究．
探究一：計算
．
第1次分割，把正方形的面積二等分，其中*影部分的面積為
；
第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，*影部分的面積之和為
+
；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，…；
…
第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最後二等分，所有*影部分的面積之和為
+
+
+…+
，最後空白部分的面積是
．
根據第n次分割圖可得等式：
+
+
+…+
=1﹣
．
探究二：計算
+
+
+…+
．
第1次分割，把正方形的面積三等分，其中*影部分的面積為
；
第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續三等分，*影部分的面積之和為
+
；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續三等分，…；
…
第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最後三等分，所有*影部分的面積之和為
+
+
+…+
，最後空白部分的面積是
．
根據第n次分割圖可得等式：
+
+
+…+
=1﹣
，
兩邊同除以2，得
+
+
+…+
=
﹣
．
探究三：計算
+
+
+…+
．
（仿照上述方法，只畫出第n次分割圖，在圖上標註*影部分面積，並寫出探究過程）
解決問題：計算
+
+
+…+
．
（只需畫出第n次分割圖，在圖上標註*影部分面積，並完成以下填空）
根據第n次分割圖可得等式：_________，
所以，
+
+
+…+
=________．
拓廣應用：計算
+
+
+…+
．
【回答】
【答題空1】
【答題空2】
【分析】
探究三：根據探究二的分割方法依次進行分割，然後表示出*影部分的面積，再除以3即可；
解決問題：按照探究二的分割方法依次分割，然後表示出*影部分的面積及，再除以（m-1）即可得解；
拓廣應用：先把每一個分數分成1減去一個分數，然後應用公式進行計算即可得解．
【詳解】
探究三：第1次分割，把正方形的面積四等分，
其中*影部分的面積為
；
第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續四等分，
*影部分的面積之和為
；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續四等分，
…，
第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最後四等分，
所有*影部分的面積之和為：
，
最後的空白部分的面積是
，
根據第n次分割圖可得等式：
=1﹣
，
兩邊同除以3，得
=
；
解決問題：
=1﹣
，
=
；
故*為
=1﹣
，
；
拓廣應用：
，
=1﹣
+1﹣
+1﹣
+…+1﹣
，
=n﹣（
+
+
+…+
），
=n﹣（
﹣
），
=n﹣
+
．
【點睛】
本題考查了應用與設計作圖，圖形的變化規律，讀懂題目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解題的關鍵．
知識點：課題學習 設計製作長方體形狀的包裝紙盒
題型：解答題
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