已知過點A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交於M，N兩點．(1)求k的取值範...

問題詳情：

已知過點A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交於M，N兩點．

(1)求k的取值範圍；

(2)若＝12，其中O為座標原點，求|MN|．

【回答】

解：(1)由題設可知直線l的方程為y＝kx＋1．

因為直線l與圓C交於兩點，所以＜1，

解得

所以k的取值範圍為．

(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)．

將y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，

整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0．

所以x1＋x2＝，x1x2＝．

＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1

＝＋8．

由題設可得＋8＝12，解得k＝1，所以直線l的方程為y＝x＋1．

故圓心C在直線l上，所以|MN|＝2．

知識點：圓與方程

題型：解答題