問題詳情:
已知拋物線 y=(m-1)x2+(m-2)x-1與x軸交於A、B兩點. (Ⅰ)求m的取值範圍; (Ⅱ)若m<0,且點A在點B的左側,OA:OB=3:1,試確定拋物線的解析式; (Ⅲ)設(Ⅱ)中拋物線與y軸的交點為C,過點C作直線l∥x軸,將拋物線在y軸右側的部分沿直線l翻折,拋物線的其餘部分保持不變,得到一個新圖象.當直線y=-x+b與新圖象只有一個公共點P(x0,y0)且 y0≥-5時,求b的取值範圍.
【回答】
解:(Ⅰ)∵拋物線y=(m-1)x2+(m-2)x-1與x軸交於A、B兩點, ∴, 由①得m≠1, 由②得m≠0, ∴m的取值範圍是m≠0且m≠1; (Ⅱ)∵點A、B是拋物線y=(m-1)x2+(m-2)x-1與x軸的交點, ∴令y=0,即 (m-1)x2+(m-2)x-1=0. 解得 x1=-1,x2=. ∵m<0, ∴−1<<0. ∵點A在點B左側, ∴點A的座標為(-1,0),點B的座標為(,0). ∴OA=1,OB=. ∵OA:OB=3:1, ∴=. ∴m=-2. ∴拋物線的解析式為y=-3x2−4x−1. (Ⅲ)∵點C是拋物線y=-3x2−4x−1與y軸的交點, ∴點C的座標為(0,-1). 依題意翻折後的圖象如解圖所示. 令y=-5,即-3x2−4x−1=-5. 解得x1=,x2=-2. ∴新圖象經過點D(-2,-5). 當直線y=-x+b經過D點時,可得b=-7. 當直線y=-x+b經過C點時,可得b=-1. 當直線y=-x+b(b>−1)與函數y=-3x2−4x−1的圖象僅有一個公共點P(x0,y0)時,得-x0+b=-3x02−4x0−1. 整理得 3x02+3x0+b+1=0. 由32-12(b+1)=-12b-3=0,得b=−. 結合圖象可知,符合題意的b的取值範圍為-7≤b<-1或b>−.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題