問題詳情:
如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,沿對角線BD將△ABD折起,使點A,C之間的距離為,若P,Q分別為線段BD,CA上的動點.
(1) 求線段PQ長度的最小值;
(2) 當線段PQ長度最小時,求直線PQ與平面ACD所成角的正弦值.
【回答】
取BD的中點E,連接AE,CE,則AE⊥BD,CE⊥BD,AE=CE=.
因為AC=,所以AE2+CE2=AC2,所以三角形ACE為直角三角形,所以AE⊥CE,
所以AE⊥平面BCD. (2分)
以EB,EC,EA分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角座標系,則B(1,0,0),C(0,,0),A(0,0,). (3分)
(1) 設P(a,0,0),=λ=(0,-λ,λ),
則=+=(-a,,0)+(0,-λ,λ)=(-a,-λ,λ),
||=
=
= (5分)
當a=0,λ=時,PQ長度最小值為. (6分)
(2) 由(1)知=,設平面ACD的一個法向量為n=(x,y,z).
由n⊥DA,n⊥DC,得 化簡,得取n=(,-1,-1). (8分)
設PQ與平面ACD所成角為θ,
則sin θ=|cos<,n>|==,
故直線PQ與平面ACD所成角的正弦值為.
知識點:空間中的向量與立體幾何
題型:解答題