問題詳情:
在數列與中,,數列的前n項和滿足,為與的等比中項,.
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)求數列與的通項公式;
(Ⅲ)設,*
【回答】
(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)見解析
【分析】
(Ⅰ)根據得,解得,根據為與的等比中項,得,解得的值;(Ⅱ)根據和項與通項關係得通項遞推關係,再根據疊乘法得數列的通項公式,根據等比條件可得,再用數學歸納法得的通項公式;(Ⅲ)根據符號變化規律,分類求和,再比較大小*不等式.
【詳解】
(Ⅰ)因為,所以,
因為為與的等比中項,
所以
(Ⅱ)
因此
所以
因為,所以,
因為為與的等比中項,
所以
下面用數學歸納法*
(1)當時,,結論成立,
(2)假設當時,結論成立,即,
當時,結論成立,
綜合(1)(2)可得
(Ⅲ)因為,,
所以當時
當時
當時,
當時,
,
當時,
綜上.
【點睛】
本題考查由和項與通項關係求通項、利用數學歸納法求通項以及利用分組法求和,考查綜合分析論*與求解能力,屬較難題.
知識點:數列
題型:解答題