關於的方程有兩個相等的實數根，其中∠A是鋭角三角形ABC的一個內角．（1）求sinA的值；（2）若關於y的方程...

問題詳情：

關於的方程有兩個相等的實數根，其中∠A是鋭角三角形ABC的一個內角．

（1）求sinA的值；

（2）若關於y的方程的兩個根恰好是△ABC的兩邊長，求△ABC的周長．

【回答】

解：（1）因為關於x的方程有兩個相等的實數根，

則△=25sin2A-16=0………………………………………1分

∴sin2A=，

∴sinA=，……………………………………………2分

∵∠A為鋭角，

∴sinA=；………………………………………………3分

（2）由題意知，方程y2﹣10y+k2-4k+29=0有兩個實數根，

則△≥0，………………………………………………4分

∴100﹣4（k2-4k+29）≥0，

∴﹣（k-2）2≥0，

∴（k-2）2≤0，

又∵（k-2）2≥0，

∴k=2．…………………………………………………5分

把k=2代入方程，得y2﹣10y+25=0，

解得y1=y2=5，

∴△ABC是等腰三角形,且腰長為5. …………6分

分兩種情況：

①    

∵sinA=, ∴AD=3 ，BD=4∴DC=2, ∴BC=.

∴△ABC的周長為. ……………………………7分

②     ∠A是底角時：如圖，過點B作BD⊥AC於點D, 在Rt△ABD中，AB=5 ∵sinA=, ∴A D =DC =3, ∴AC=6.

綜合以上討論可知：△ABC的周長為或16……………9分

知識點：各地中考

題型：解答題