已知關於x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．（1）求*：方程有兩個不相等的實數根；（2）若△A...

問題詳情：

已知關於x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．

（1）求*：方程有兩個不相等的實數根；

（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數根．第三邊BC的長為5，當△ABC是等腰三角形時，求k的值．

【回答】

【考點】根的判別式；解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關係；等腰三角形的*質．

【分析】（1）先計算出△=1，然後根據判別式的意義即可得到結論；

（2）先利用公式法求出方程的解為x1=k，x2=k+1，然後分類討論：AB=k，AC=k+1，當AB=BC或AC=BC時△ABC為等腰三角形，然後求出k的值．

【解答】（1）*：∵△=（2k+1）2﹣4（k2+k）=1＞0，

∴方程有兩個不相等的實數根；

（2）解：一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0的解為x=，即x1=k，x2=k+1，

∵k＜k+1，

∴AB≠AC．

當AB=k，AC=k+1，且AB=BC時，△ABC是等腰三角形，則k=5；

當AB=k，AC=k+1，且AC=BC時，△ABC是等腰三角形，則k+1=5，解得k=4，

綜合上述，k的值為5或4．

知識點：解一元二次方程

題型：解答題