已知函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，且當x∈（﹣∞，0）時不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=3...

問題詳情：

已知函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，且當x∈（﹣∞，0）時不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（）•f（）．則a，b，c的大小關係是（　　）

【回答】

考點：

函數奇偶*的*質；簡單複合函數的導數；函數的單調*與導數的關係．

專題：

綜合題；壓軸題．

分析：

由已知式子（x）+xf′（x），可以聯想到：（uv）′=u′v+uv′，從而可設h（x）=xf（x），

有：h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，所以利用h（x）的單調*問題很容易解決．

解答：

解：構造函數h（x）=xf（x），

由函數y=f（x）以及函數y=x是R上的奇函數可得h（x）=xf（x）是R上的偶函數，

又當x∈（﹣∞，0）時h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，

所以函數h（x）在x∈（﹣∞，0）時的單調*為單調遞減函數；

所以h（x）在x∈（0，+∞）時的單調*為單調遞增函數．

又因為函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（0）=0，從而h（0）=0

因為=﹣2，所以f（）=f（﹣2）=﹣f（2），

由0＜logπ3＜1＜30.3＜30.5＜2

所以h（logπ3）＜h（30.3）＜h（2）=f（），即：b＜a＜c

故選B．

點評：

本題考查的考點與方法有：1）所有的基本函數的奇偶*；2）抽象問題具體化的思想方法，構造函數的思想；3）導數的運算法則：（uv）′=u′v+uv′；4）指對數函數的圖象；5）奇偶函數在對稱區間上的單調*：奇函數在對稱區間上的單調*相同；偶函數在對稱區間上的單調*相反；5）奇偶函數的*質：奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇（同號得正、異號得負）；奇+奇=奇；偶+偶=偶．

本題結合已知構造出h（x）是正確解答的關鍵所在．

知識點：*與函數的概念

題型：填空題