問題詳情:
設函數f(x)是定義在R上的偶函數,對任意x∈R,都有f(x+2)=f(x﹣2),且當x∈[﹣2,0]時,f(x)=()x﹣1,若在區間(﹣2,6]內關於x的方程f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1)有3個不同的實數根,則a的取值範圍是( )
A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,) D.(,2)
【回答】
D【考點】3L:函數奇偶*的*質;54:根的存在*及根的個數判斷.
【分析】根據函數的奇偶*和對稱*可以得到函數是周期函數,然後將方程轉化為兩個函數,利用數形結合以及兩個函數圖象的交點個數,求得,由此求得a的範圍.
【解答】解:函數f(x)是定義在R上的偶函數,對任意x∈R,都有f(x+2)=f(x﹣2),
∴f(x﹣2)=f(x+2)=f(2﹣x),即f(x)=f(x+4),即函數的週期是4.
當 x∈[0,2]時,﹣x∈[﹣2,0],此時f(﹣x)=()﹣x﹣1=f(x),即f(x)=2x﹣1,
且當x∈[﹣2,0]時,f(x)=()x﹣1.
分別作出函數f(x)(圖中黑*曲線)和y=loga(x+2)(圖中紅*曲線)圖象如圖:
由在區間(﹣2,6]內關於x的方程f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1)有3個不同的實數根,
可得函數f(x)和y=loga(x+2)圖象有3個交點,
故有,求得<a<2,
故選:D.
知識點:基本初等函數I
題型:選擇題