已知函數f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函數，當x=1時f（x）取得極值﹣2．求f（x）的單調區...

問題詳情：

已知函數f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函數，當x=1時f（x）取得極值﹣2．求f（x）的單調區間和極大值．

【回答】

【考點】6D：利用導數研究函數的極值．

【分析】由條件f（1）=2，f′（1）=0求得a、b，再利用導數求出單調區間，從而求解．

【解答】解．由奇函數定義，有f（﹣x）=﹣f（x），x∈R．即﹣ax3﹣cx+d=﹣ax3﹣cx﹣d，∴d=0因此，f（x）=ax3+cx，

 f′（x）=3ax2+c

由條件f（1）=2為f（x）的極值，必有f′（1）=0

故  ，解得 a=1，c=﹣3

因此f（x）=x3﹣3x，f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1）

當x∈（﹣∞，﹣1）時，f′（x）＞0，故f（x）在單調區間（﹣∞，﹣1）上是增函數．

當x∈（﹣1，1）時，f′（x）＜0，故f（x）在單調區間（﹣1，1）上是減函數．

當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，故f（x）在單調區間∈（1，+∞）上是增函數．

所以，f（x）的極大值為f（﹣1）=2．

知識點：導數及其應用

題型：解答題