如圖9，CE是平行四邊形ABCD的邊AB的垂直平分線，垂足為點O，CE與DA的延長線交於點E，連接AC，BE，...

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問題詳情：

如圖9，CE是平行四邊形ABCD的邊AB的垂直平分線，垂足為點O，CE與DA的延長線交於點E，連接AC，BE，DO，DO與AC交於點F，則下列結論： ①四邊形ACBE是菱形；②∠ACD=∠BAE ③AF：BE=2：3 ④ 其中正確的結論有________。（填寫所有正確結論的序號）

【回答】

①②④

【考點】三角形的面積，全等三角形的判定與*質，線段垂直平分線的*質，平行四邊形的*質，相似三角形的判定與*質

【解析】【解答】解：①∵CE是平行四邊形ABCD的邊AB的垂直平分線，∴AO=BO,∠AOE=∠BOC=90°,BC∥AE，AE=BE，CA=CB， ∴∠OAE=∠OBC， ∴△AOE≌△BOC（ASA）， ∴AE=BC， ∴AE=BE=CA=CB， ∴四邊形ACBE是菱形，故①正確. ②由①四邊形ACBE是菱形， ∴AB平分∠CAE， ∴∠CAO=∠BAE，又∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴BA∥CD， ∴∠CAO=∠ACD， ∴∠ACD=∠BAE. 故②正確. ③∵CE垂直平分線AB， ∴O為AB中點，又∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴BA∥CD，AO= AB= CD， ∴△AFO∽△CFD， ∴ = ， ∴AF:AC=1:3, ∵AC=BE， ∴AF:BE=1:3, 故③錯誤. ④∵ ·CD·OC, 由③知AF:AC=1:3, ∴ , ∵ = × CD·OC= , ∴ = + = = , ∴ 故④正確. 故*為：①②④. 【分析】①根據平行四邊形和垂直平分線的*質得AO=BO,∠AOE=∠BOC=90°,BC∥AE，AE=BE，CA=CB，根據ASA得△AOE≌△BOC，由全等三角形*質得AE=CB，根據四邊相等的四邊形是菱形得出①正確. ②由菱形*質得∠CAO=∠BAE，根據平行四邊形的*質得BA∥CD，再由平行線的*質得∠CAO=∠ACD，等量代換得∠ACD=∠BAE；故②正確. ③根據平行四邊形和垂直平分線的*質得BA∥CD，AO= AB= CD，從而得△AFO∽△CFD，由相似三角形*質得 = ，從而得出AF:AC=1:3,即AF:BE=1:3,故③錯誤. ④由三角形面積公式得 ·CD·OC,從③知AF:AC=1:3,所以= + = = ,從而得出故④正確.