如圖，拋物線y2＝4x的焦點為F，過點F的直線交拋物線於A，B兩點．(1)若求直線AB的斜率；(2)設點M在線...

問題詳情：

如圖，拋物線y2＝4x的焦點為F，過點F的直線交拋物線於A，B兩點．

(1)若求直線AB的斜率；

(2)設點M在線段AB上運動，原點O關於點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值．

【回答】

解：(1)依題意知F(1，0)，設直線AB的方程為

x＝my＋1．將直線AB的方程與拋物線的方程聯立，

消去x得y2－4my－4＝0．

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4．①

因為，所以y1＝－2y2．②

聯立①和②，消去y1，y2，得m＝±．

所以直線AB的斜率是±2．

(2)由點C與原點O關於點M對稱，得M是線段OC的中點，從而點O與點C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等於2S△AOB．因為2S△AOB＝2×·|OF|·|y1－y2|＝，所以當m＝0時，四邊形OACB的面積最小，最小值是4．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題