設函數f（x）=（x﹣a）lnx+b．（Ⅰ）當a=0時，討論函數f（x）在[，+∞）上的零點個數；（Ⅱ）當a＞...

問題詳情：

設函數f（x）=（x﹣a）lnx+b．

（Ⅰ）當a=0時，討論函數f（x）在[，+∞）上的零點個數；

（Ⅱ）當a＞1且函數f（x）在（1，e）上有極小值時，求實數a的取值範圍．

【回答】

解：（1）f'（x）=ex（ax2+x+1）+ex（2ax+1）=，      

當時，，f（x）在R上單調遞增；         

當時，f'（x）＞0，解得x＞﹣2或；f'（x）＜0，解得，

故函數f（x）在和（﹣2，+∞）上單調遞增，在上單調遞減．   

當時，f'（x）＞0，解得或x＜﹣2；f'（x）＜0，解得， 

故函數f（x）在（﹣∞，﹣2）和上單調遞增，在上單調遞減．

所以當時，f（x）的單調遞增區間是（﹣∞，+∞）；        

當時，f（x）的單調遞增區間是和（﹣2，+∞），單調遞減區間是；        

當時，f（x）的單調遞增區間是（﹣∞，﹣2）和，單調遞減區間是．          

（2）*：∵x=1時，f（x）有極值，∴f'（x）=3e（a+1）=0，∴a=﹣1，         

∴f（x）=ex（﹣x2+x+1），f'（x）=﹣ex（x﹣1）（x+2），          

由f'（x）＞0，得﹣2＜x＜1，∴f（x）在[﹣2，1]上單調遞增．          

∵，∴sinθ，cosθ∈[0，1]，         

∴|f（cosθ）﹣f（sinθ）|≤f（1）﹣f（0）=e﹣1＜2．           

知識點：導數及其應用

題型：解答題