設a為實數，函數f（x）=x|x﹣a|．（1）討論f（x）的奇偶*；（2）當0≤x≤1時，求f（x）的最大值．

問題詳情：

設a為實數，函數f（x）=x|x﹣a|．

（1）討論f（x）的奇偶*；

（2）當0≤x≤1時，求f（x）的最大值．

【回答】

【考點】函數的最值及其幾何意義．

【專題】函數的*質及應用．

【分析】（1）討論a=0時與a≠0時的奇偶*，然後定義定義進行*即可；

（2）討論當a≤0和a＞0時，求出函數f（x）=x|x﹣a|的表達式，即可求出在區間[0，1]上的最大值．

【解答】解：（1）由題意可知函數f（x）的定義域為R．

當a=0時f（x）=x|x﹣a|=x|x|，為奇函數．

當a≠0時，f（x）=x|x﹣a|，

f（1）=|1﹣a|，f（﹣1）=﹣|1+a|，

f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），

∴此時函數f（x）為非奇非偶函數．

（2）若a≤0，則函數f（x）=x|x﹣a|在0≤x≤1上為增函數，

∴函數f（x）的最大值為f（1）=|1﹣a|=1﹣a，

若a＞0，由題意可得f（x）=，

由於a＞0且0≤x≤1，結合函數f（x）的圖象可知，

由，

當，即a≥2時，f（x）在[0，1]上單調遞增，

∴f（x）的最大值為f（1）=a﹣1；

當，

即時，f（x）在[0，]上遞增，在[，a]上遞減，

∴f（x）的最大值為f（）=；

當，即時，

f（x）在[0，]上遞增，在[，a]上遞減，在[a，1]上遞增，

∴f（x）的最大值為f（1）=1﹣a．

【點評】本題主要考查函數奇偶*的判斷，以及分段函數的最值的求法，考查學生的運算能力．

知識點：*與函數的概念

題型：解答題