已知函數f（x）=x﹣1﹣alnx（a＜0）．（1）討論f（x）的單調*；（2）若對任意x1，x2∈（0，1]...

問題詳情：

已知函數f（x）=x﹣1﹣alnx（a＜0）．

（1）討論f（x）的單調*；

（2）若對任意x1，x2∈（0，1]，且x1≠x2，都有，求實數a的取值範圍．

【回答】

【考點】6E：利用導數求閉區間上函數的最值；6B：利用導數研究函數的單調*．

【分析】（1）求出函數的導數，根據a的範圍，求出導函數的符號，從而求出函數的單調區間，

（2）將問題轉化為x2﹣ax﹣4≤0在x∈（0，1]時恆成立，而函數y=x﹣在區間（0，1]上是增函數，所以y=x﹣的最大值為﹣3，從而求出a的範圍．

【解答】解：（1）函數f（x）的定義域（0，+∞），f′（x）=1﹣=，

當a＜0時，f'（x）＞0恆成立，此時，函數f（x）在（0，+∞）上是增函數；

（2）當a＜0時，函數f（x）在（0，1]上是增函數，

又函數y=在（0，1]上是減函數，不妨設0＜x1＜x2≤1，

則|f（x1）﹣f（x2）|=f（x2）﹣f（x1），|﹣|=﹣，

所以|f（x1）﹣f（x2）|＜4|﹣|等價於f（x2）﹣f（x1）＜﹣，

即f（x2）+＜f（x1）+，

設h（x）=f（x）+=x﹣1﹣alnx+，

則|f（x1）﹣f（x2）|＜4|﹣|等價於函數h（x）在區間（0，1]上是減函數．

於是h′（x）=1﹣﹣=≤0即x2﹣ax﹣4≤0在x∈（0，1]時恆成立，

從而a≥x﹣在x∈（0，1]上恆成立，

而函數y=x﹣在區間（0，1]上是增函數，

所以y=x﹣的最大值為﹣3．

於是a≥﹣3，又a＜0，所以a∈[﹣3，0）．

知識點：導數及其應用

題型：解答題