問題詳情:
已知函數f(x)=(e是自然對數的底數),h(x)=1﹣x﹣xlnx.
(1)求曲線y=f(x)在點A(1,f(1))處的切線方程;
(2)求h(x)的單調區間;
(3)設g(x)=xf′(x),其中f′(x)為f(x)的導函數,*:對任意x>0,g(x)<1+e﹣2.
【回答】
【考點】6H:利用導數研究曲線上某點切線方程;6E:利用導數求閉區間上函數的最值.
【分析】(1)求出f(x)的導數,可得切線的斜率和切點,即可得到所求切線的方程;
(2)求導數,利用導數的正負,求h(x)的單調區間;
(3)g(x)=(1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞).由h(x)=1﹣x﹣xlnx,確定當x∈(0,+∞)時,h(x)≤h(e﹣2)=1+e﹣2.當x∈(0,+∞)時,0<<1,即可*結論.
【解答】解:(1)f(x)=的導數為=,
可得曲線y=f(x)在點A(1,f(1))處的切線斜率為0,
切點為(1,),可得曲線y=f(x)在點A(1,f(1))處的切線方程為y=;
(2)h(x)=1﹣x﹣xlnx求導數得h′(x)=﹣1﹣(1+lnx),x∈(0,+∞),
令h′(x)=﹣2﹣lnx=0,x∈(0,+∞),可得x=e﹣2,
當x∈(0,e﹣2)時,h′(x)>0;當x∈(e﹣2,+∞)時,h′(x)<0.
因此h(x)的單調遞增區間為(0,e﹣2),單調遞減區間為(e﹣2,+∞);
(2)*:因為g(x)=xf′(x).
所以g(x)=(1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞).
由h(x)=1﹣x﹣xlnx,
求導得h′(x)=﹣lnx﹣2=﹣(lnx﹣lne﹣2),
所以當x∈(0,e﹣2)時,h′(x)>0,函數h(x)單調遞增;
當x∈(e﹣2,+∞)時,h′(x)<0,函數h(x)單調遞減.
所以當x∈(0,+∞)時,h(x)≤h(e﹣2)=1+e﹣2.
又當x∈(0,+∞)時,0<<1,
所以當x∈(0,+∞)時, h(x)<1+e﹣2,即g(x)<1+e﹣2.
綜上所述,對任意x>0,g(x)<1+e﹣2.
知識點:導數及其應用
題型:解答題