如圖，M為等腰△ABD的底AB的中點，過D作DC∥AB，連結BC；AB=8cm，DM=4cm，DC=1cm，動...

問題詳情：

如圖，M為等腰△ABD的底AB的中點，過D作DC∥AB，連結BC；AB=8cm，DM=4cm，DC=1cm，動點P自A點出發，在AB上勻速運動，動點Q自點B出發，在折線BC﹣CD上勻速運動，速度均為1cm/s，當其中一個動點到達終點時，它們同時停止運動，設點P運動t（s）時，△MPQ的面積為S（不能構成△MPQ的動點除外）．

（1）t（s）為何值時，點Q在BC上運動，t（s）為何值時，點Q在CD上運動；

（2）求S與t之間的函數關係式；

（3）當t為何值時，S有最大值，最大值是多少？

（4）當點Q在CD上運動時，直接寫出t為何值時，△MPQ是等腰三角形．

【回答】

【解答】解：（1）過點C作CE⊥AB，垂足為E，如圖1，

∵DA=DB，AM=BM，

∴DM⊥AB．

∵CE⊥AB，

∴∠CEB=∠DMB=90°．

∴CE∥DM．

∵DC∥ME，CE∥DM，∠DME=90°，

∴四邊形DCEM是矩形．

∴CE=DM=4，ME=DC=1．

∵AM=BM，AB=8，

∴AM=BM=4．

∴BE=BM﹣ME=3．

∵∠CEB=90°，CE=4，BE=3，

∴CB=5．

∵當t=4時，點P與點M重合，不能構成△MPQ，

∴t≠4．

∴當0＜t≤5且t≠4（s）時，點Q在BC上運動；當5≤t≤6（s）時，點Q在CD上運動．

（2）①當0＜t＜4時，點P在線段AM上，點Q在線段BC上，

過點Q作QF⊥AB，垂足為F，如圖1，

∵QF⊥AB，CE⊥AB，

∴∠QFB=∠CEB=90°．

∴QF∥CE．

∴△QFB∽△CEB．

∴=．

∵CE=4，BC=5，BQ=t，

∴=．

∴QF=．

∵PM=AM﹣AP=4﹣t，

∴S=PM•QF

=（4﹣t）•

=﹣t2+．

②當4＜t≤5時，點P在線段BM上，點Q在線段BC上，

過點Q作QF⊥AB，垂足為F，如圖2，

∵QF⊥AB，CE⊥AB，

∴∠QFB=∠CEB=90°．

∴QF∥CE．

∴△QFB∽△CEB．

∴=．

∵CE=4，BC=5，BQ=t，

∴=．

∴QF=．

∵PM=AP﹣AM=t﹣4，

∴S=PM•QF

=（t﹣4）•

=t2﹣．

③當5＜t≤6時，點P在線段BM上，點Q在線段DC上，

過點Q作QF⊥AB，垂足為F，如圖3，

此時QF=DM=4．

∵PM=AP﹣AM=t﹣4，

∴S=PM•QF

=（t﹣4）×4

=2t﹣8．

綜上所述：當0＜t＜4時S=﹣t2+；當4＜t≤5時，S=t2﹣；當5＜t≤6時，S=2t﹣8．

（3）①當0＜t＜4時，S=﹣t2+=﹣（t﹣2）2+．

∵﹣＜0，0＜2＜4，

∴當t=2時，S取到最大值，最大值為．

②當4＜t≤5時，S=t2﹣，對稱軸為x=2．

∵＞0，

∴當x＞2時，S隨着t的增大而增大．

∴當t=5時，S取到最大值，最大值為×52﹣×5=2．

③當5＜t≤6時，S=2t﹣8．

∵2＞0，

∴S隨着t的增大而增大．

∴當t=6時，S取到最大值，最大值為2×6﹣8=4．

綜上所述：當t=6時，S取到最大值，最大值為4．

（4）當點Q在CD上運動即5≤t≤6時，如圖3，

則有QM≥QF，QP≥QF，即QM≥4，QP≥4．

∵MP=t﹣4＜6﹣4，即MP＜2，

∴QM≠MP，QP≠MP．

若△MPQ是等腰三角形，則QM=QP．

∵QM=QP，QF⊥MP，

∴MF=PF=MP．

∵MF=DQ=5+1﹣t=6﹣t，MP=t﹣4，

∴6﹣t=（t﹣4）．

解得：t=．

∴當t=秒時，△MPQ是等腰三角形．

知識點：相似三角形

題型：綜合題