如圖，四邊形中ABCD，AB∥CD，BC⊥AB，AD＝CD＝8cm，AB＝12cm，動點M從A出發，沿線段AB...

問題詳情：

如圖，四邊形中ABCD，AB∥CD，BC⊥AB，AD＝CD＝8cm，AB＝12cm，動點M從A出發，沿線段AB作往返運動（A﹣B﹣A），速度為3（cm/s），動點N從C出發，沿着線段C﹣D﹣A運動，速度為2（cm/s），當N到達A點時，動點M、N運動同時停止．

（1）當t＝5（s）時，則MN兩點間距離等於　   　（cm）；

（2）當t為何值時，MN將四邊形ABCD的面積分為相等的兩個部分？

（3）若線段MN與AC的交點為P，探究是否存在t的值，使得AP：PC＝1：2？若存在，請求出所有t的值；若不存在，請説明理由．

【回答】

【解析】（1）如圖所示，當t＝5（s）時，點N移動的路程為10，點M移動的路程為15，

∴點N在AD上，DN＝10﹣8＝2，點M在AB上，BM＝15﹣12＝3，

∴AN＝6，AM＝9，

過D作DE⊥AB，過N作NF⊥AB，則BE＝CD＝8，AE＝12＝8＝4，

∴Rt△ADE中，DE＝

∵NF∥DE，

∴，即

∴NF＝3 ，AF＝3，

∴FM＝9﹣3＝6，

∴Rt△MNF中，MN＝

故*為3 ；

（2）∵四邊形中ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AD＝CD＝8cm，AB＝12cm，

而BC＝4 ，則梯形ABCD的面積＝

①當0≤t≤4時，如圖，則BM＝12﹣3t，CN＝2t，

∴梯形BCNM的面積＝

∵MN將四邊形ABCD的面積分為相等的兩個部分，

∴

∴t＝2．      

②當4＜t≤8時，如圖，則AM＝24﹣3t，AN＝16﹣2t，

∴△AMN的面積＝

∵MN將四邊形ABCD的面積分為相等的兩個部分，

∴

∴

又∵4＜t≤8，

∴

綜上所述：或t＝2或8

 （3）①當0≤t≤4時，如圖，則AM＝3t，CN＝2t．

∵AB∥CD，

∴不存在符合條件的t值．

②當4＜t≤8時，如圖，分別延長CD、MN交於點Q．

則AM＝24﹣3t，AN＝16﹣2t，DN＝2t﹣8．

∵AB∥CD，

∴，即

解得DQ＝3（t﹣4），

∴CQ＝3t﹣4．

∵AB∥CD，

∴，即

解得t＝ ，

綜上可知：存在實數t＝使得AP：PC＝1：2成立．

知識點：相似三角形

題型：綜合題