有一塊以點O為圓心，半徑為2百米的圓形草坪，草坪內距離O點百米的D點有一用於灌溉的水籠頭，現準備過點D修一條筆...

問題詳情：

有一塊以點O為圓心，半徑為2百米的圓形草坪，草坪內距離O點百米的D點有一用於灌溉的水籠頭，現準備過點D修一條筆直小路交草坪圓周於A，B兩點，為了方便居民散步，同時修建小路OA，OB，其中小路的寬度忽略不計．

（1）若要使修建的小路的費用最省，試求小路的最短長度；

（2）若要在△區域內(含邊界)規劃出一塊圓形的場地用於老年人跳廣場舞，試求這塊圓形廣場的最大面積．(結果保留根號和)

【回答】

【解】建立如圖所示的平面直角座標系，則．

（1）小路的長度為，因為長為定值，

故只需要最小即可．

作於，記，則，

又，故，

此時點為中點．

故小路的最短長度為(百米)．……………4分

（2）顯然，當廣場所在的圓與△內切時，

面積最大，設△的內切圓的半徑為，

則△的面積為，……………6分

由弦長公式可得，所以，………8分

設，則，

所以，  …………………………………10分

又因為，即，所以，……………12分

所以，所以 ，

即△的內切圓的面積最大值為．………………………………………14

知識點：幾何*選講

題型：解答題