如圖，在菱形ABCD中，連結BD、AC交於點O，過點O作OH⊥BC於點H，以點O為圓心，OH為半徑的半圓交AC...

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問題詳情：

如圖，在菱形ABCD中，連結BD、AC交於點O，過點O作OH⊥BC於點H，以點O為圓心，OH為半徑的半圓交AC於點M． ①求*：DC是⊙O的切線． ②若AC=4MC且AC=8，求圖中*影部分的面積． ③在②的條件下，P是線段BD上的一動點，當PD為何值時，PH+PM的值最小，並求出最小值．

【回答】

解：①過點O作OG⊥CD，垂足為G，在菱形ABCD中，AC是對角線，則AC平分∠BCD， ∵OH⊥BC，OG⊥CD， ∴OH=OG， ∴OH、OG都為圓的半徑，即DC是⊙O的切線； ②∵AC=4MC且AC=8， ∴OC=2MC=4， MC=OM=2， ∴OH=2，在直角三角形OHC中，HO=CO， ∴∠OCH=30°，∠COH=60°， ∴HC=， S*影=S△OCH-S扇形OHM=CH•OH-OH2=2-； ③作M關於BD的對稱點N，連接HN交BD於點P， ∵PM=NP， ∴PH+PM=PH+PN=HN，此時PH+PM最小， ∵ON=OM=OH， ∠MOH=60°， ∴∠MNH=30°， ∴∠MNH=∠HCM， ∴HN=HC=2，即：PH+PM的最小值為2，在Rt△NPO中， OP=ONtan30°=，在Rt△COD中， OD=OCtan30°=，則PD=OP+OD=2．【解析】

①作OH⊥BC，*OH為圓的半徑，即可求解； ②利用S*影=S△OCH-S扇形OHM=CH•OH-OH2，即可求解； ③作M關於BD的對稱點N，連接HN交BD於點P，PH+PM=PH+PN=HN，此時PH+PM最小，即可求解．本題為圓的綜合運用題，涉及到圓切線的*質及應用、點的對稱*、解直角三角形等知識，其中③，通過點的對稱*確定PH+PM最小，是本題的難點和關鍵．

知識點：各地中考

題型：解答題

Tags：BD BC abcd AC 過點

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