問題詳情:
如果一個圓上所有的點都在一個角的內部或邊上,那麼稱這個圓為該角的角內圓.特別地,當這個圓與角的至少一邊相切時,稱這個圓為該角的角內相切圓.在平面直角座標系xOy中,點E,F分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上.
(1)分別以點A(1,0),B(1,1),C(3,2)為圓心,1為半徑作圓,得到⊙A,⊙B和⊙C,其中是∠EOF的角內圓的是 ;
(2)如果以點D(t,2)為圓心,以1為半徑的⊙D為∠EOF的角內圓,且與直線y=x有公共點,求t的取值範圍;
(3)點M在第一象限內,如果存在一個半徑為1且過點P(2,2)的圓為∠EMO的角內相切圓,直接寫出∠EOM的取值範圍.
【回答】
(1)⊙B,⊙C;(2)1≤t≤2+;(3)60°≤∠EOM<90°
【分析】
(1)畫出圖象,根據角內相切圓的定義判斷即可.
(2)求出兩種特殊位置時t的值即可判斷.
(3)如圖3中,連接OP,OM.首先求出∠POE,根據圖象可知當*線OM在∠POF的內部(包括*線OP,不包括*線OF)時,存在一個半徑為1且過點P(2,2)的圓為∠EMO的角內相切圓.
【詳解】
(1)如圖1中,觀察圖象可知,⊙B和⊙C,其中是∠EOF的角內圓.
故*為:⊙B,⊙C.
(2)解:如圖,
當⊙D1與y軸相切時,設切點為M,則MD1=1,可得t1=1.
當⊙D2與y=x相切時,設切點為H,連接HD2,設直線y=x與直線y=2交於點K,則△HKD2,△MOK都是等腰直角三角形,
∵KH=HD2=1,
∴KD2=,
∵OM=MK=2,
∴MD2=MK+KD2=2+
可得t2=2+,
觀察圖象可知,滿足條件的t的取值範圍是1≤t≤2+.
(3)如圖3中,連接OP,OM.
∵P(2,2),
∴tan∠POE==,
∴∠POE=60°,
觀察圖象可知當*線OM在∠POF的內部(包括*線OP,不包括*線OF)時,存在一個半徑為1且過點P(2,2)的圓為∠EMO的角內相切圓,
∴60°≤∠EOM<90°.
【點睛】
本題屬於圓綜合題,考查了直線與圓的位置關係,角內相切圓的定義,解題的關鍵是理解題意,學會利用特殊位置解決數學問題.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題